Nozioni di base di geometria analitica del piano, trigonometria, equazioni e disequazioni algebriche, fratte, irrazionali, sistemi di disequazioni.

Obiettivo principale del corso è l'acquisizione di competenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica, in particolare dei concetti di limite, continuità, derivabilità, integrazione per funzioni reali di variabile reale.

Conoscenze e comprensione: acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

 

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati nell'ambito dell'Analisi Matematica; essere in grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica; essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studio di funzione, calcolo di limiti, integrazione).

 

Autonomia di giudizio: l'esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

 

Abilità comunicative: la presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

 

Capacità di apprendimento: la capacità di apprendimento dello studente sarà stimolata proponendo esercizi, anche teorici, da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula o per via telematica (da definire in itinere).

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. Tali prove si svolgono in giorni distinti e prefissati; le date saranno disponibili nel calendario degli esami del proprio corso di studi. La prova orale viene sostenuta solo dopo aver superato la prova scritta. Per accedere ad entrambe le prove bisogna prenotarsi sull’apposito portale degli studenti.

 

Prova scritta (3 ore): Consiste nello svolgimento di alcuni esercizi. Tale prova mira a valutare la capacità di risoluzione di esercizi di base di Analisi Matematica ma anche la chiarezza delle argomentazioni delle risoluzioni stesse.

 

Prova orale (tre quarti d'ora) – Riguarda contenuti di carattere teorico (definizioni, teoremi e proprietà svolte a lezione); il contenuto è precisato dal programma del corso disponibile nella scheda del corso stesso. Sono richiesti solo gli argomenti effettivamente trattati a lezione (comprese le dimostrazioni svolte). La prova orale è suddivisa in due parti che vengono svolte di seguito nello stesso giorno. Nella prima parte si risponde ad alcuni quesiti teorici (in genere due o tre) in forma scritta, mentre la seconda consiste in un vero e proprio colloquio. Il colloquio finale non riguarda necessariamente gli argomenti assegnati in forma scritta. Ai fini della valutazione il colloquio finale è essenziale. Tale prova mira a valutare la riproduzione di semplici ma rigorose dimostrazioni di noti risultati nell'ambito dell'Analisi Matematica. La suddivisione consentirà di valutare la capacità di esposizione dei contenuti del corso sia in forma scritta che orale.

 

 

Ulteriori informazioni:

 

- La prova orale può essere sostenuta in un appello successivo a quello della prova scritta purché ricadente nello stesso periodo di esami. (I periodi di esame sono: 1) gennaio-febbraio, 2) aprile (fuori corso), 3) giugno-luglio, 4) settembre, 5) ottobre-novembre (fuori corso)).

 

- La prova scritta può essere utilizzata per una sola prova orale e quindi se non si supera la prova orale bisogna sostenere nuovamente anche la prova scritta.

Numeri reali: il sistema dei numeri reali; operazioni algebriche, ordinamento ed assioma di completezza; definizione di massimo e di minimo; unicità del massimo e del minimo; insiemi numerici limitati inferiormente, superiormente, limitati; estremo inferiore/superiore e caratterizzazione; il principio di induzione. Alcune proprietà dei numeri reali. Funzione reali elementari.

Cenni di calcolo combinatorio. Teorema del binomio di Newton.

 

Numeri complessi: forma algebrica; rappresentazione geometrica, forma trigonometrica; radici n-esime.

 

Successioni: definizione; successioni monotone, limitate inferiormente/superiormente, limitate; successione estratta, limite di una successione reale; unicità del limite; regolarità delle successioni

monotone e delle successioni estratte da una regolare; teorema di Bolzano Weierstrass; successioni di Cauchy e proprietà; operazioni con i limiti di successioni e forme indeterminate; teoremi di confronto. Il numero di Nepero. Funzioni reali di variabile reale: alcune classificazioni (monotone, limitate, …); punti di massimo/minimo, assoluti/relativi; estremo inferiore e superiore e caratterizzazione; limiti delle funzioni reali; concetto di intorno e proprietà; punto di accumulazione; unicità del limite; caratterizzazione del limite mediante successioni dei valori (con dimostrazione); limite da destra e da sinistra; limiti delle funzioni monotone; operazioni con i limiti; casi particolari; teoremi di confronto per i limiti di funzioni; limite di funzioni composte. Funzioni elementari. Limiti notevoli; infinitesimi ed infiniti.

 

Funzioni continue: definizione di funzione continua in un punto, in un insieme; funzioni uniformemente continue, lipschitziane; operazioni con le funzioni continue; caratterizzazione delle funzioni continue; punti di discontinuità: eliminabile, di 1a e 2a specie; teorema di esistenza degli zeri, teorema dei valori intermedi; teorema di Weierstrass; teorema di Heine-Cantor; continuità dell’inversa di una funzione continua; continuità e monotonia: principali teoremi; teorema sulla continuità di una funzione se essa è monotona e dominio e condominio sono intervalli e corollario. Asintoti: verticali,

orizzontali, obliqui.

 

Derivazione: rapporto incrementale e definizione di derivata; algebra e derivazione; derivazione di funzioni composte; derivazione della funzione inversa; teorema di Fermat; teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange; teorema di de l’Hopital; derivate successive; derivata seconda e punti di massimo/di minimo; polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Peano; formula di Taylor con il resto di Lagrange; applicazione della formula di Taylor alla determinazione dei punti di massimo/minimo. Funzioni convesse/concave su un intervallo; punti di flesso.

 

Teoria dell’integrazione: partizioni di un intervallo, somme integrali superiori ed inferiori, integrale superiore ed inferiore, funzioni integrabili secondo Riemann; criteri di integrabilità; algebra delle

funzioni integrabili. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue, proprietà dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione; teoremi sulla media integrale; primitiva di una funzione; proprietà delle primitive; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti; per sostituzione; alcuni metodi di integrazione per particolari funzioni integrande.

 

Integrale in senso improprio: per funzioni limitate definite su una semiretta; per funzioni illimitate definite su un intervallo; per funzioni illimitate definite su una semiretta; alcuni teoremi di confronto.

 

- Albanese, Leaci, Pallara: Appunti del Corso di Analisi Matematica I (disponibile online).
- Cecconi, Stampacchia: Analisi Matematica Vol.1, Liguori.
- Giusti: Analisi Matematica I, Bollati-Boringhieri.
- Gilardi: Analisi I, Mc Graw Hill.
- Marcellini, Fusco, Sbordone: Analisi Matematica I, Liguori.
- Marcellini, Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Vol. I.
- Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica I, Bollati-Boringhieri.