Algebra dei polinomi, equazioni  e disequazioni algebriche di primo e secondo grado e fratte, elementi di trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica nel piano.

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di variabile reale.

Scopo del corso è l'acquisizione del metodo matematico e delle conoscenze di base dell'analisi matematica, in vista delle applicazioni in campo bio-medico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:

Al termine del corso lo studente

• avrà acquisito la conoscenza di concetti matematici con la corretta terminologia, nonché la capacità di darne interpretazioni in altri ambiti disciplinari;
• sarà in grado di risolvere esercizi di base sul calcolo differenziale ed integrale;
• avrà acquisito gli strumenti per il successivo studio dell'analisi statistica di dati;
• sarà in grado di interpretare semplici modelli matematici di fenomeni biomedici.

Lezioni frontali ed esercitazioni 

Prova scritta  con esercizi e domande di teoria

PROGRAMMA 

I  numeri reali:

Costruzione assiomatica del campo dei numeri reali, operazioni algebriche ed ordinamento. Irrazionalità di  (con DIM.).   Maggioranti e Minoranti,  definizione di massimo e di minimo; unicità del massimo e del minimo; insiemi numerici limitati inferiormente/superiormente, limitati. Assioma di Completezza; estremo inferiore e superiore e caratterizzazione (con DIM.). Proprietà Archimedea e densità di  in . Funzione valore assoluto.

Funzioni reali di variabile reale: 

Definizione di funzione, dominio, codominio,  immagine, grafico. Operazioni tra funzioni e composizione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa e proprietà del suo grafico. Alcune classificazioni (monotonia, parità e disparità, limitatezza); punti di massimo/minimo, assoluti/relativi; estremo inferiore e superiore e caratterizzazione.  Funzioni elementari: funzione costante, affine, valore assoluto e parte intera; potenze, esponenziali, logaritmi, trigonometriche. 

I numeri complessi:

Definizioni; forma algebrica, forma trigonometrica e forma esponenziale; piano di Gauss; coordinate polari; Teorema di De Moivre (con DIM.); Radici n-esime (DIM.-solo un verso); Teorema fondamentale dell'Algebra, Corollario al Teorema fondamentale dell'Algebra per polinomi a coefficienti reali (con DIM.).

Successioni:

Principio d'induzione; definizione; successioni monotone, limitate inferiormente/superiormente, limitate; successione estratta.  Limite di una successione reale ed esempi; limiti delle successioni elementari; Unicità del limite (con DIM.); limitatezza delle successioni convergenti (con DIM.). Operazioni sui limiti per successioni convergenti (con DIM.). Teoremi di confronto: permanenza del segno (con DIM.), confronto (con DIM.), Carabinieri (con DIM.). Limite prodotto successione infinitesima per limitata (con DIM.), Limite  successione maggiore di una divergente (con DIM.). Forme indeterminate e operazioni con i limiti (caso generale). Ordini di grandezza. Teorema fondamentale sulle successioni monotone (con DIM.), limite di Nepero. Successioni estratte, Caratterizzazione del limite tramite successioni estratte, Teorema di Bolzano Weierstrass. Successioni di Cauchy e Criterio di Cauchy.

Limiti delle funzioni reali:

Topologia di R ampliato: Il concetto di intorno e relative proprietà; punti di accumulazione, interni ed isolati. Definizioni di limite. Unicità del limite (con DIM.); caratterizzazione del limite mediante successioni dei valori (con DIM.), teorema di limitatezza locale. Teoremi di confronto: permanenza del segno, confronto, Carabinieri. Operazioni sui limiti e forme indeterminate.  Limite prodotto funzione infinitesima per limitata, Limite  funzione maggiore di una divergente. Intorni destri e sinistri, Limite da destra e da sinistra, Esistenza del limite tramite limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone. Limite di funzioni composte. Limiti notevoli e andamenti asintotici; infinitesimi ed infiniti,  funzioni asintotiche e principio di sostituzione.

Funzioni continue:

Definizione di funzione continua in un punto, in un insieme; Continuità delle funzioni elementari, operazioni con le funzioni continue; caratterizzazione delle funzioni continue con le successioni; punti di discontinuità: eliminabile, di 1° e 2° specie. Teorema di Weierstrass (con DIM.), teorema di esistenza degli zeri, teorema dei valori intermedi (con DIM.). Continuità e monotonia; continuità dell'inversa di una funzione continua. Funzioni uniformemente continue e Teorema di Heine-Cantor (con DIM.).  Asintoti: verticali, orizzontali, obliqui.

Derivazione:

Rapporto incrementale e definizione di derivata; proprietà base, interpretazione geometrica  ed esempi. Derivata destra e sinistra e punti di non derivabilità con esempi (punti a tangente verticale, punti angolosi, punti di cuspide). Regole di calcolo per le derivate; derivazione di funzioni composte; derivazione della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Punti di massimo/di minimo relativi, punti critici, Teorema di Fermat (con DIM.), teorema di Rolle (con DIM.), teorema di  Lagrange (con DIM.), teorema di Cauchy. Derivate successive.  Conseguenze del teorema di Lagrange: Criterio di monotonia (con DIM.),  funzioni convesse/concave su un intervallo,  punti di flesso, Criterio di convessità. Teorema di De l'Hopital. Infinitesimi ed o-piccoli, Polinomio di Taylor, formula di Taylor con il resto di Peano,  formula di Taylor con il resto di Lagrange, applicazione della formula di Taylor alla determinazione dei punti di massimo/minimo. Funzioni lipschitziane, caratterizzazione funzioni lipschitziane derivabili (con DIM.); esempi di funzioni Lipschitziane e di funzioni non Lipschitziane.

Teoria dell’integrazione:

Partizioni di un intervallo, somme integrali superiori ed inferiori, integrale superiore ed inferiore, funzioni integrabili secondo Riemann. Funzione di Dirichlet,  algebra delle funzioni integrabili, proprietà dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione e confronto.  Interpretazione geometrica dell'integrale e calcolo di aree. Caratterizzazione delle funzioni integrabili (con DIM.);  Integrabilità  delle funzioni continue (con DIM.) e delle funzioni monotone. Teorema della media integrale (con DIM.). Primitiva di una funzione e integrale indefinito; proprietà delle primitive; teorema fondamentale del calcolo integrale (con DIM.); formula fondamentale del calcolo integrale (con DIM.). Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali razionali.  Integrale in senso improprio per funzioni illimitate e/o definite su una semiretta; alcuni teoremi di confronto.

Cenni alla teoria delle serie numeriche: 

Definizione; serie convergenti e regolari; la serie geometrica; condizione necessaria per le serie convergenti (con DIM.); convergenza assoluta; criteri di convergenza per confronto per le serie a termini non negativi; criterio del confronto con l'integrale improprio; la serie armonica e la serie armonica generalizzata. Sviluppi in serie di Taylor. 

Cenni  sulle funzioni reali di più variabili reali .

 Norma e distanza euclidea, successioni in ^n,  limiti e continuità di funzioni in più variabili. Derivate parziali, gradiente e differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivate seconde parziali, teorema di Schwarz. 

Equazioni differenziali.

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy e teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy. Controesempio al teorema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni  a variabili separabili,  equazioni di Bernoulli. Dinamica delle popolazioni e modello logistico. Struttura dell'integrale generale di un'equazione differenziale lineare (con DIM.). Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

1. L. Negro: Dispense del corso di Analisi Matematica, c.d.l. in Medicina e Chirurgia,  (dispense e lavagne disponibili sul portale elearning del corso).
2. Albanese,Leaci,Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica I e II, (dispense disponibili in rete).
3. Bramanti, Confortola, Salsa, Matematica per le scienze con fondamenti di probabilità e statistica, Zanichelli, Bologna, 2024.
4. Marcellini, Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori.
5. Fusco, Marcellini, Sbordone, Analisi Matematica Due, Zanichelli, 2020.
6. Marcellini, Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol.I e II, Liguori.
7. Marcellini, Sbordone, Esercitazioni di Matematica Due, vol.I e II, Zanichelli, 2017.
8. Benedetto, Degli Esposti, Maffei, Matematica per le scienze della vita, Zanichelli, 2025.