Conoscenze Argomenti Algebra

Breve descrizione del corso Il corso ha come obiettivo principale l’acquisizione di competenze di base nell’ambito delle strutture algebriche, in particolare degli anelli. Particolare cura è data alla comprensione delle argomentazioni e al rigore nella presentazione dei concetti e dei ragionamenti. Obiettivi formativi Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo algebrico. Capacità di applicare conoscenze e comprensione: # essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi, # essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione, # essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Algebra. Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci. Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Algebra, sia in forma scritta che orale. Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente. Programma esteso Definizione di anello ed esempi. Proprietà elementari degli anelli. Domini d’integrità, corpi e campi. Sottoanelli ed ideali. Teorema di omomorfismo per gli anelli. Ideali primi e massimali. Campo dei quozienti di un dominio d’integrità. Elementi algebrici e trascendenti. Anello dei polinomi. Domini euclidei. Domini ad ideali principali. Massimo comun divisore, Elementi irriducibili. Polinomi irriducibili, Criterio di Eisenstein e altri criteri di irriducibilità. Scomposizione in irriducibili. Sottocampo primo di un campo. Caratteristica di un campo. Esistenza di radici. Polinomio minimo. Grado di un’estensione. Campo di spezzamento di un polinomio. Complementi sui gruppi ciclici. Descrizione dei campi finiti. Sottocampi di un campo.