Contenuto dei corsi di Analisi 1 e Geometria 1 

Calcolo differenziale. Studio di funzioni reali di variabile reale. Calcolo integrale. Successioni di funzioni.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

• essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Analisi Matematica.
•  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.
• essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studio di una funzione reale di variabile reale, integrazione di funzioni di una variabile, limiti di successioni di funzioni) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi, anche teorici,  da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali

Una prova scritta su esercizi ed una prova orale su argomenti di teoria.

Alla prova di teoria lo studente accede se ha conseguito la votazione di almeno 17 nella prova scritta.  La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello o comunque all'interno della stessa sessione. Se lo studente non supera la prova orale, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Calcolo differenziale: rapporto incrementale e funzioni derivabili. Derivate sinistre e destre. Interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Punti di non derivabilità. Continuità delle funzioni derivabili(*). Regole di derivazione(*) e derivate delle funzioni elementari. Studio della derivabilità di una funzione reale. Estremi relativi. Teorema di Fermat(*) Teorema di Rolle(*), Cauchy(*) e Lagrange(*) e conseguenze.  Teorema di monotonia(*) Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Caratterizzazione della convessità(*): condizione necessaria perché un punto sia di flesso. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studio del grafico di una funzione reale. Teorema di De L'Hopital(*) e applicazioni. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con il resto di Peano(*). Condizioni sufficienti di estremalità(*) Applicazioni al calcolo dei limiti. Studio del grafico di una funzione.

Calcolo integrale: Suddivisioni, somme integrali. Confronto tra somme integrali su partizioni in relazione d’ordine (*). Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi e controesempi. Proprietà di linearità, additività rispetto all’intervallo d’integrazione e confronto. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili (*).
Teorema d’integrabilità delle funzioni continue (*). Funzioni continue a tratti. Integrabilità delle funzioni continue a tratti. Teorema d’integrabilità delle funzioni monotone (*). Integrabilità di composizioni di funzioni integrabili con funzioni Lipschitziane ed applicazioni (*). Area di figure piane. Media integrale. Teorema della media integrale (*). Funzione integrale. Lipschitzianità della funzione integrale (*) Teorema fondamentale del calcolo integrale (*).

Primitiva, integrale indefinito, integrazione per parti e per sostituzione. Integrali funzioni razionali. Alcune formule di ricorrenza. Sostituzioni razionalizzanti. Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). 

Integrali impropri di prima e seconda specie. Criterio di confronto e d’integrabilità per integrali impropri di prima  e seconda specie. Esempi e applicazioni. 

Confronto tra integrale e serie.

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Esempi e applicazioni. Continuità del limite uniforme. Derivazione ed integrazione termine a termine. 

A.Albanese, A.Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica I 

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica 1, Liguori Editore, Napoli.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Liguori Editore,  Napoli.