GEOMETRY IV

Teaching in italian
GEOMETRIA IV
Teaching
GEOMETRY IV
Subject area
MAT/03
Reference degree course
MATHEMATICS
Course type
Bachelor's Degree
Credits
9.0
Teaching hours
Frontal Hours: 63.0
Academic year
2022/2023
Year taught
Course year
2
Language
ITALIAN
Curriculum
PERCORSO COMUNE

Teaching description

Teaching program is provisional and may be subject to changes

Geometria I, Geometria II, Analisi Matematica I, Analisi Matematica II.

Obiettivo principale del corso è quello di introdurre lo studente a concetti e metodi di base della
geometria differenziale di curve e superfici.
Particolare attenzione è data alla scelta degli esempi e degli esercizi, alla comprensione delle
argomentazioni (anche enfatizzando l'aspetto geometrico in vista dei corsi successivi) e al rigore nella presentazione
dei concetti e dei ragionamenti.

Conoscenze e comprensione: possedere una solida preparazione con un ampio spettro di
conoscenze di base della geometria differenziale di curve e superfici.
Capacità di applicare conoscenze e comprensione: essere in grado di formalizzare
matematicamente problemi di moderata difficoltà, ma correlati ad argomenti svolti nel corso;                                                                                                                                  essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di
geometria differenziale di curve e superfici.
Autonomia di giudizio: l’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da
migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.
Abilità comunicative: la presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire
l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti la geometria differenziale                                                                                                       di curve e superfici, sia in forma scritta che orale.
Capacità di apprendimento: saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con
l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

L’esame consiste di una prova di esercizi e di una prova di teoria.La prova di esercizi riguarda argomenti trattati nel corso.
La prova di teoria consiste nella verifica dell’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso.

Generalità su curve e superfici di R^3. Rappresentazioni di curve e superfici. Coordinate cilindriche
e sferiche. Superfici rigate. Coni. Cilindri.
Curva proiezione. Superficie di rotazione. Classificazione proiettiva e affine delle quadriche. Le
quadriche di rango 3 e di rango 4. Equazioni canoniche.
Geometria differenziale delle curve di R^3. Funzioni Differenziabili. Spazio tangente a R^n in un
suo punto. Campi di vettori su aperti di R^3.
Il campo gradiente. Curve differenziabili parametrizzate. Curve regolari. Vettore velocità. Ascissa
curvilinea. Cambiamento di parametro.
Derivata direzionale. Il differenziale di un'applicazione differenziabile. Differenziale di una isometria.
Orientazione dello spazio.
Campi di vettori lungo una curva. Curvatura, torsione e formule di Frenet. Piano osculatore e Cerchio
osculatore.
Caratterizzazione di curve piane, di archi di circonferenza, di eliche circolari ed eliche cilindriche
(Teorema di Lancret).
Curvatura di curve sulla sfera. Curvatura con segno di curve piane. Apparato di Frenet
per curve regolari a velocità arbitraria. Il Teorema fondamentale sulle curve (prima parte: CNS per la
congruenza di due curve). Il Teorema fondamentale sulle curve (seconda parte: esistenza).
Geometria differenziale delle superfici di R^3. Superfici regolari. La sfera S^2. Superficie grafico di
una funzione. Superfici di livello.
Cambiamento di parametri e funzioni differenziabili su superfici.
Curve coordinate su una superficie. Piano tangente a una superficie.
Differenziale di una funzione differenziabile tra superfici. Prima forma fondamentale. Superfici
orientabili.
Operatore forma e seconda forma fondamentale. Curvature e vettori principali. Curvatura gaussiana
e media.
Punti ellittici, iperbolici, parabolici, planari e ombelicali. Direzioni asintotiche.
Teorema di Meusnier (sulla curvatura normale). Curvatura geodetica. Curvature principali e
curvature normali.
Rappresentazione dell’operatore forma in termini dei coefficienti della prima e della seconda forma
fondamentale.
Formule che esprimono la curvatura gaussiana e media in funzione dei coefficienti della prima e
della seconda forma fondamentale.
Approssimazione quadratica di una superficie.
Superfici isometriche. Superfici congruenti.
Il Teorema fondamentale sulle superfici.
 

D.Perrone, Un'introduzione alla Geometria Differenziale di curve e superfici, ESE Salento University
Publishing, Quaderni di Matematica, Q2/2017
(eISBN: 978-88-8305-132-6); http://siba-ese.unisalento.it/index.php/quadmat/issue/current
A. Sanini, Lezioni di Geometria, Editrice Levrotto e Bella, Torino, 1993.
Appunti dalle lezioni.

Semester

Exam type
Compulsory

Type of assessment
Oral - Final grade

Course timetable
https://easyroom.unisalento.it/Orario

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