Mathematical analysis

Teaching in italian
ANALISI MATEMATICA
Teaching
Mathematical analysis
Subject area
MAT/05
Reference degree course
MEDICINE AND SURGERY
Course type
Unique Cycle Master's Degree
Credits
7.0
Teaching hours
Frontal Hours: 87.0
Academic year
2022/2023
Year taught
2022/2023
Course year
1
Curriculum
COMUNE/GENERICO
Reference professor for teaching
NEGRO LUIGI

Teaching description

Algebra dei polinomi, equazioni  e disequazioni algebriche di primo e secondo grado, elementi di trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica nel piano.

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di variabile reale.

Scopo del corso è l'acquisizione del metodo matematico e delle conoscenze di base dell'analisi matematica, in vista delle applicazioni in campo bio-medico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:

Al termine del corso lo studente

  • avrà acquisito la conoscenza di concetti matematici con la corretta terminologia, nonché la capacità di darne interpretazioni in altri ambiti disciplinari;
  • sarà in grado di risolvere esercizi di base sul calcolo differenziale ed integrale;
  • avrà acquisito gli strumenti per il successivo studio dell'analisi statistica di dati;
  • sarà in grado di interpretare semplici modelli matematici di fenomeni biomedici.

Lezioni frontali ed esercitazioni 

Prova scritta  con esercizi e domande di teoria

PROGRAMMA (provvisorio)

I  numeri reali:

il sistema dei numeri reali; operazioni algebriche, ordinamento ed assioma di completezza; funzione valore assoluto;  definizione di massimo e di minimo; unicità del massimo e del minimo; insiemi numerici limitati inferiormente, superiormente, limitati; estremo inferiore/superiore e caratterizzazione. Alcune proprietà dei numeri reali. 

Funzioni reali di variabile reale

Definizione di funzione, dominio, immagine, grafico. Operazioni tra funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni composte e inverse. Alcune classificazioni (monotone, limitate, …); punti di massimo/minimo, assoluti/relativi; estremo inferiore e superiore e caratterizzazione. Funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, trigonometriche

I numeri complessi:

forma algebrica; forma trigonometrica; piano di Gauss; radici n-esime, teorema fondamentale dell’Algebra.

Successioni:

definizione; successioni monotone, limitate inferiormente/superiormente, limitate; successione estratta, limite di una successione reale; unicità del limite; regolarità delle successioni monotone e delle successioni estratte da una regolare ; successioni di Cauchy e proprietà ; operazioni con i limiti di successioni e forme indeterminate ; teoremi di confronto. Teorema di Bolzano Weierstrass . Il numero di Nepero.

Limiti delle funzioni reali:

 il concetto di intorno e proprietà; punto di accumulazione. Unicità del limite; caratterizzazione del limite mediante successioni dei valori; limite da destra e da sinistra; limiti delle funzioni monotone ; operazioni con i limiti teoremi di confronto per i limiti di funzioni; limite di funzioni composte.   Limiti  notevoli; infinitesimi ed infiniti.

Funzioni continue:

definizione di funzione continua in un punto, in un insieme; funzioni uniformemente continue, lipschitziane; operazioni con le funzioni continue; caratterizzazione delle funzioni continue; punti di discontinuità: eliminabile, di 1^ e 2^ specie; teorema di esistenza degli zeri, teorema dei valori intermedi; teorema di Weierstrass ; teorema di Heine-Cantor ; continuità dell’inversa di una funzione continua (en); continuità e monotonia. Asintoti: verticali, orizzontali, obliqui.

Derivazione:

Rapporto incrementale e definizione di derivata; algebra e derivazione; derivazione di funzioni composte; derivazione della funzione inversa; teorema di Fermat; teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange; teorema di De L’Hopital; derivate successive; derivata seconda e punti di massimo/di minimo; polinomio di Taylor; formula di Taylor  con il resto di Peano; formula di Taylor con il resto di Lagrange; applicazione della formula di Taylor alla determinazione dei punti di massimo/minimo. Funzioni convesse/concave su un intervallo;  punti di flesso.

Teoria dell’integrazione:

Partizioni di un intervallo, somme integrali superiori ed inferiori, integrale superiore ed inferiore, funzioni integrabili secondo Riemann; criteri di integrabilità; algebra delle funzioni integrabili; Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue, proprietà dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione;   teoremi sulla media integrale; primitiva di una funzione; proprietà delle primitive; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti; per sostituzione. Calcolo di aree. Integrale in senso improprio per funzioni limitate definite su una semiretta, per funzioni illimitate definite su un intervallo e per funzioni illimitate definite su una semiretta; alcuni teoremi di confronto.

Serie numeriche

definizione; serie convergenti e regolari; la serie geometrica; criterio di Cauchy; condizione necessaria per le serie convergenti (con dim.); convergenza assoluta; criteri di convergenza per confronto per le serie a termini non negativi ; la serie armonica e la serie armonica generalizzata;  criteri della radice e del rapporto; criterio del confronto con l'integrale improprio; Criterio di Leibniz per le serie di segno alternato. Sviluppi in serie di Taylor e  in serie di Fourier (cenni).

Cenni  sulle funzioni reali di più variabili reali .

Derivate parziali, gradiente, campi vettoriali, potenziale, integrali curvilinei, integrali mulitpli.

Equazioni differenziali.

Introduzione alle equazioni differenziali  ordinarie. Problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, omogenee e lineari. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

  1. A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica 1 e 2 (dispense disponibili in rete).
  2. Marcellini, Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. I, Vol. II, Liguori.
  3. Marcellini, Sbordone: Esercitazioni di Matematica Due, volume I e II, Zanichelli, 2017.
  4. Benedetto, Degli Esposti, Maffei, Matematica per le scienze della vita, Zanichelli.

Semester
Yearly (dal 03/10/2022 al 09/06/2023)

Exam type

Type of assessment

Course timetable
https://easyroom.unisalento.it/Orario

Parent teaching
MATHEMATICS (LM73)

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