I prerequisiti sono i corsi della laurea triennale, in particolare, quelli di Analisi matematica

Convergenza stocastica. Funzioni caratteristiche. Teoremi limite: Leggi deboli e forti dei grandi Numeri (LGN) e Teoremi del Limite Centrale (TLC). Introduzione alla martingale

Mettere in grado gli studenti di comprendere almeo il linguaggio e i problemi della moderna letteratura scientifica sulla probabilità

Lezioni frontali e svolgimento di un numero piuttosto alto di esercizî che approfondiscano i risultati illustrati a lezione.

Esame orale in data da concordare con gli studenti

Da concordare con gli studenti

Richiami di misura e integrazione, con particolare attenzione alla misura immagine e al teoream di Radon-Nikodym. I Lemmi di Borel-Cantelli. Varî modi di convergenza stocastica: quasi certa, in probabilità, il L^p, in legge. Convergenze vaga e stretta. Funzioni caratteristiche (f.c): Corrispondenza biunivoca tra funzioni di ripartizione e f.c.. Momenti e f.c.. F.c. della somma di variabili aleatorie indipendenti. Il teorema di continuità di Lévy-Cramér. Cenno al teorema di Bochner. Teoremi limite: Leggi dei Grandi numeri(LGN), LGN deboli. LGN forti: teoremi di Rajchman,di Kolmogorov, di Khinchin-Kolmogorov. Teoremi del Limite Centrale (TLC): Teorema di Lindeberg, suoi corollarî e sue conseguenze. Cenno a condizioni necessarie per TLC. Speranza condizionate: definizione e proprietà. Introduzione alle Martingale: definizione e esempî di martingale e sottomartingale. Martingale quadratiche. Teorema di decomposizione di Doob. Trasformate di martingale. Martingale uniformememente integrabili. Convergenza in L^1. Convergenza quasi certa: teorema di Doob. Convergenza delle sottomartingale. Applicazioni: nuova dimostrazione del teorema di Radon-Nikodym, convergenza di serie aleatorie, martingale rovesciate e LGN forti, legge 0-1 di Kolmogorov, rovina del giocatore, urna di Pólya.

Oltre algi appunti disponibili in rete consiglio i seguenti testi

D.Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press, 1991

J. Jacod, Ph. Protter, Probability essentials. Springer, 2000

R.M. Dudley, Real analysis and probability, Wadsworth & Cole, Pacific Grove CA, 1989