Conoscenze di Analisi matematica e Biomeccanica o Scienza delle costruzioni

Il corso si propone di fornire le conoscenze matematiche e meccaniche che sono alla base del metodo degli elementi finiti, percorrendo i vari passaggi che portano dalla formulazione del problema all'interpretazione dei risultati. Analizzati gli aspetti teorici, mira successivamente a verificare i risultati mediante un programma di calcolo agli elementi finiti, e a incrementare la complessità delle modellazioni per fornire una procedura generale di approccio alla soluzione di un problema ingegneristico reale.

Il corso ha l'obiettivo di portare lo studente ad apprendere le tecniche matematiche che supportano il metodo degli elementi finiti, al fine di effettuare scelte competenti nella modellazione di un problema di meccanica o di fisica in generale. L'estensione delle conoscenze teoriche attraverso l'uso di un programma di calcolo ingegneristico mira a fornire la capacità di impostare in maniera conveniente i parametri che portano alla soluzione del problema e di interpretare la consistenza dei risultati ottenuti.

Lezioni frontali: alla lavagna per la parte teorica, al calcolatore per la parte applicativa.

Prova orale volta a verificare le conoscenze acquisite teoriche e pratiche.

Si prevede l'assegnazione di un tema d'anno che non è determinante ai fini del superamento dell'esame.

Introduzione al metodo degli elementi finiti:
- panoramica storica
- la notazione matriciale
- i passi del metodo degli elementi finiti

Il metodo delle rigidezze o degli spostamenti:
- definizione di matrice di rigidezza
- determinazione della matrice di rigidezza per un elemento molla
- assemblaggio della matrice di rigidezza globale
- condizioni al contorno omogenee e non omogenee
- derivazione delle equazioni dell'elemento molla mediante l'energia potenziale

L'elemento asta:
- derivazione della matrice di rigidezza in coordinate locali
- scelta della funzione degli spostamenti
- matrice di trasformazione e matrice di rigidezza per un'asta nel piano
- calcolo delle tensioni in un'asta
- matrice di trasformazione e matrice di rigidezza per un'asta nello spazio
- vincoli di supporto inclinati
- derivazione delle equazioni dell'elemento asta mediante l'energia potenziale
- il metodo di Galerkin per l'elemento asta

L'elemento trave nel piano:
- derivazione della matrice di rigidezza mediante la teoria di Eulero-Bernoulli
- assemblaggio delle matrici di rigidezza dell'elemento trave
- elemento trave soggetto a carico distribuito
- elemento trave con cerniera nei nodi
- derivazione delle equazioni dell'elemento trave mediante l'energia potenziale
- il metodo di Galerkin per l'elemento trave

L'elemento trave nello spazio:
- derivazione della matrice di rigidezza dell'elemento trave in coordinate globali
- vincoli di supporto inclinati
- derivazione della matrice di rigidezza per l'elemento trave nello spazio
- elemento trave arbitrariamente orientato nello spazio

Gli elementi piani:
- concetto di stato piano di tensione e deformazione
- derivazione della matrice di rigidezza per l'elemento triangolare a deformazione costante
- derivazione della matrice di rigidezza per l'elemento rettangolare piano

L'elemento triangolare a deformazione lineare:
- derivazione della matrice di rigidezza di elemento

Formulazione isoparametrica:
- matrice di rigidezza dell'elemento asta
- matrice di rigidezza dell'elemento quadrilatero piano
- quadratura di Newton-Cotes e di Gauss
- derivazione della matrice di rigidezza mediante quadratura di Gauss
- funzioni di forma per elementi di ordine superiore

Daryl L. Logan, A first course in the finite element method, Sixth edition, Cengage Learning, 2017